Ghent University Academic Bibliography

Advanced

Projectiviteiten, affiniteiten en isometrieën

Charles Thas (1987) Simon Stevin. A Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 61(Supplement v 61(1987) ). p.1-202
abstract
VOORWOORD In deze tekst beschouwen we n-dimensionale projectieve, affiene en euclidische ruimten $(n \geq 1)$. De projectieve en affiene ruimten zijn complex, re\"eel of gecomplexifi\"eerd re\"eel en de euclidische ruimten zijn re\"eel of gecomplexifi\"eerd re\"eel. Eerst wordt het onderscheid tussen complex, re\"eel en gecomplexifi\"eerd re\"eel vrij uitvoerig behandeld, terwijl nadien steeds de nadruk gelegd wordt op de studie en de classificatie van de niet-singuliere projectiviteiten, de niet-singuliere affiniteiten, de gelijkvormigheidstransformaties en de isometrie\"en. In hoofdstuk 1 geven we een beknopte opsomming van definities en eigenschappen i.v.m. groepen en vectorruimten. Dit hoofdstuk bevat geen bewijzen; er wordt van de lezer een zeer beperkte voorkennis van (voornamelijk lineaire) algebra vereist. Om in het derde hoofdstuk een classificatie van de niet-singuliere projectiviteiten te kunnen geven (dit is alleen voor dimensie $n=1,2,3$ volledig uitgewerkt), tonen we in het tweede hoofdstuk kort aan dat elke vierkante complexe of re\"ele matrix in een zogenaamde Jordanvorm kan gebracht worden. Het enige doel van dit tweede hoofdstuk is, zo beknopt mogelijk, het bestaan van die Jordanvormen te bewijzen, zodanig dat men daarna onmiddellijk voor elke dimensie $n$ een classificatie van de projectiviteiten kan afleiden: er wordt geen praktische werkwijze voor het opstellen van de Jordanvorm gegeven. In het derde hoofdstuk worden ook de involutorische en (zeer kort) de singuliere projectiviteiten beschouwd. De laatste paragraaf behandelt een meetkundige interpretatie van de Jordanvorm van $2 \times 2$ en $3 \times 3$ complexe en re\"ele niet-singuliere matrices; hieruit volgt ook een praktische werkwijze voor het bepalen van een standaardvoorstelling van een gegeven projectiviteit van de projectieve rechte of het projectief vlak (complex, re\"eel of gecomplexifieerd re\"eel). Het vierde hoofdstuk geeft eerst twee constructies voor $n$-dimensionale affiene ruimten en daarna wordt voor dimensie $n=1,2,3$ een volledige classificatie van de niet-singuliere affiniteiten uitgewerkt. Ook unimodulaire, involutorische en singuliere affiniteiten worden kort behandeld. Een classificatie van de projectiviteiten voor $n=1,2,3$ kan men in verschillende standaardwerken terugvinden, maar wat de affiniteiten betreft worden in de meeste boeken slechts een paar voorbeelden gegeven (translaties, homothetie\"en, affiene symmetrie\"en,...): zeer zelden vindt men een volledige classificatie (zie bvb. [5] voor de affiniteiten van het vlak). Het leek ons dan ook nuttig om deze classificatie voor $n=1,2,3$ volledig uit te werken. Het laatste hoofdstuk kan los van het voorgaande gelezen worden. We construeren eerst euclidische ruimten en geven daarna een classificatie van de gelijkvormigheidstransformaties en van de isometrie\"en voor alle dimensies . Dit laatste kan ook uitgewerkt worden met Jordanvormen, maar deze methode werd daar niet gebruikt. Voor de hoofdstelling, d.i. de classificatiestelling voor de isometrie\"en, worden twee bewijzen gegeven. Het vijfde hoofdstuk bevat ook paragrafen i.v.m. het Erlanger Programm, isometrie\"en als samenstelling van spiegelingen, geori\"enteerde hoeken, quaternionen en de formule van Laguerre. Bijzondere aandacht wordt besteed aan de studie van de isometrie\"en van het vlak en de driedimensionale ruimte.
Please use this url to cite or link to this publication:
author
organization
year
type
journalArticle (original)
publication status
published
subject
keyword
Projectiviteiten, Affiniteiten, Isometrieën
journal title
Simon Stevin. A Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics
B BELG MATH SOC-SIM
editor
C.C. Grosjean, Joseph Thas UGent, Jan Van Geel and F. Pastijn
volume
61
issue
Supplement v 61(1987)
pages
202 pages
publisher
Natuur- en geneeskundige vennootschap
place of publication
Gent
ISSN
0037-5454
language
Dutch
UGent publication?
yes
classification
U
copyright statement
I don't know the status of the copyright for this publication
id
8559304
handle
http://hdl.handle.net/1854/LU-8559304
date created
2018-04-18 09:00:02
date last changed
2018-04-18 09:00:02
@article{8559304,
  abstract     = {VOORWOORD

In deze tekst beschouwen we n-dimensionale projectieve, affiene en euclidische ruimten \$(n {\textbackslash}geq 1)\$. De projectieve en affiene ruimten zijn complex, re{\textbackslash}{\textacutedbl}eel of gecomplexifi{\textbackslash}{\textacutedbl}eerd re{\textbackslash}{\textacutedbl}eel en de euclidische ruimten zijn re{\textbackslash}{\textacutedbl}eel of gecomplexifi{\textbackslash}{\textacutedbl}eerd re{\textbackslash}{\textacutedbl}eel. Eerst wordt het onderscheid tussen complex, re{\textbackslash}{\textacutedbl}eel en gecomplexifi{\textbackslash}{\textacutedbl}eerd re{\textbackslash}{\textacutedbl}eel vrij uitvoerig behandeld, terwijl nadien steeds de nadruk gelegd wordt op de studie en de classificatie van de niet-singuliere projectiviteiten, de niet-singuliere affiniteiten, de gelijkvormigheidstransformaties en de isometrie{\textbackslash}{\textacutedbl}en. 

In hoofdstuk 1 geven we een beknopte opsomming van definities en eigenschappen i.v.m. groepen en vectorruimten. Dit hoofdstuk bevat geen bewijzen; er wordt van de lezer een zeer beperkte voorkennis van (voornamelijk lineaire) algebra vereist. 

Om in het derde hoofdstuk een classificatie van de niet-singuliere projectiviteiten te kunnen geven (dit is alleen voor dimensie \$n=1,2,3\$ volledig uitgewerkt), tonen we in het tweede hoofdstuk kort aan dat elke vierkante complexe of re{\textbackslash}{\textacutedbl}ele matrix in een zogenaamde Jordanvorm kan gebracht worden. Het enige doel van dit tweede hoofdstuk is, zo beknopt mogelijk, het bestaan van die Jordanvormen te bewijzen, zodanig dat men daarna onmiddellijk voor elke dimensie \$n\$ een classificatie van de projectiviteiten kan afleiden: er wordt geen praktische werkwijze voor het opstellen van de Jordanvorm gegeven. 

In het derde hoofdstuk worden ook de involutorische en (zeer kort) de singuliere projectiviteiten beschouwd. De laatste paragraaf behandelt een meetkundige interpretatie van de Jordanvorm van \$2 {\textbackslash}times 2\$ en \$3 {\textbackslash}times 3\$ complexe en re{\textbackslash}{\textacutedbl}ele niet-singuliere matrices; hieruit volgt ook een praktische werkwijze voor het bepalen van een standaardvoorstelling van een gegeven projectiviteit van de projectieve rechte of het projectief vlak (complex, re{\textbackslash}{\textacutedbl}eel of gecomplexifieerd re{\textbackslash}{\textacutedbl}eel). 

Het vierde hoofdstuk geeft eerst twee constructies voor \$n\$-dimensionale affiene ruimten en daarna wordt voor dimensie \$n=1,2,3\$ een volledige classificatie van de niet-singuliere affiniteiten uitgewerkt. Ook unimodulaire, involutorische en singuliere affiniteiten worden kort behandeld. Een classificatie van de projectiviteiten voor \$n=1,2,3\$ kan men in verschillende standaardwerken terugvinden, maar wat de affiniteiten betreft worden in de meeste boeken slechts een paar voorbeelden gegeven (translaties, homothetie{\textbackslash}{\textacutedbl}en, affiene symmetrie{\textbackslash}{\textacutedbl}en,...): zeer zelden vindt men een volledige classificatie (zie bvb. [5] voor de affiniteiten van het vlak). Het leek ons dan ook nuttig om deze classificatie voor \$n=1,2,3\$ volledig uit te werken. 

Het laatste hoofdstuk kan los van het voorgaande gelezen worden. We construeren eerst euclidische ruimten en geven daarna een classificatie van de gelijkvormigheidstransformaties en van de isometrie{\textbackslash}{\textacutedbl}en voor alle dimensies . Dit laatste kan ook uitgewerkt worden met Jordanvormen, maar deze methode werd daar niet gebruikt. Voor de hoofdstelling, d.i. de classificatiestelling voor de isometrie{\textbackslash}{\textacutedbl}en, worden twee bewijzen gegeven. 

Het vijfde hoofdstuk bevat ook paragrafen i.v.m. het Erlanger Programm, isometrie{\textbackslash}{\textacutedbl}en als samenstelling van spiegelingen, geori{\textbackslash}{\textacutedbl}enteerde hoeken, quaternionen en de formule van Laguerre. Bijzondere aandacht wordt besteed aan de studie van de isometrie{\textbackslash}{\textacutedbl}en van het vlak en de driedimensionale ruimte.},
  author       = {Thas, Charles},
  editor       = {Grosjean, C.C. and Thas, Joseph and Van Geel, Jan and Pastijn, F.},
  issn         = {0037-5454},
  journal      = {Simon Stevin. A Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics },
  keyword      = {Projectiviteiten,Affiniteiten,Isometrie{\"e}n},
  language     = {dut},
  number       = {Supplement v 61(1987) },
  pages        = {1--202},
  publisher    = {Natuur- en geneeskundige vennootschap},
  title        = {Projectiviteiten, affiniteiten en isometrie{\"e}n},
  volume       = {61},
  year         = {1987},
}

Chicago
Thas, Charles. 1987. “Projectiviteiten, Affiniteiten En Isometrieën.” Ed. C.C. Grosjean, Joseph Thas, Jan Van Geel, and F. Pastijn. Simon Stevin. A Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 61 (Supplement v 61(1987) ): 1–202.
APA
Thas, C. (1987). Projectiviteiten, affiniteiten en isometrieën. (C. C. Grosjean, J. Thas, J. Van Geel, & F. Pastijn, Eds.)Simon Stevin. A Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 61(Supplement v 61(1987) ), 1–202.
Vancouver
1.
Thas C. Projectiviteiten, affiniteiten en isometrieën. Grosjean CC, Thas J, Van Geel J, Pastijn F, editors. Simon Stevin. A Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . Gent: Natuur- en geneeskundige vennootschap; 1987;61(Supplement v 61(1987) ):1–202.
MLA
Thas, Charles. “Projectiviteiten, Affiniteiten En Isometrieën.” Ed. C.C. Grosjean et al. Simon Stevin. A Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 61.Supplement v 61(1987) (1987): 1–202. Print.