Advanced search
1 file | 3.47 MB Add to list

Het oplossen van stelsels lineaire vaagvergelijkingen

(2007)
Author
Promoter
E Kerre
Organization
Abstract
De eindige-elementenmethode is een algemeen aanvaarde en vrij breed gebruikte techniek voor numerieke simulatie van verschillende processen en fenomenen in constructies. De methode is oorspronkelijk ontwikkeld voor structuurmechanische analyse in civiele en mechanische constructies. Tegenwoordig is het toepassingsgebied echter zeer sterk uitgebreid, bijvoorbeeld naar problemen in warmtetransport, vloeistoffenstroming, elektromagnetisme, \ldots\ De eindige-elementenmethode is een deterministische methode: de inputparameters dienen dus volledig gekend en gedefinieerd te zijn. Het resultaat is dan ook deterministisch. In de realiteit is het echter moeilijk om al deze inputparameters correct en \'e\'enduidig te defini\"eren. Er kan bijvoorbeeld onzekerheid bestaan over bepaalde materiaalparameters door onzuiverheden aanwezig in de materie of bepaalde aspecten van een constructie kunnen nog niet volledig bepaald zijn in de ontwerpfase. Om deze onzekerheid in de invoergegevens te modelleren, kan men zich op de vaagverzamelingenleer baseren. De onzekere parameter wordt dan beschreven door middel van een lidmaatschapsfunctie die een weergave is van wat de werkelijke waarde van de grootheid mogelijks kan zijn. Een eerste aanpak om de deterministische eindige-elementenmethode uit te breiden voor onzekere invoerparameters is door alle stappen in de methode te vervangen door equivalente bewerkingen in de vaagheid. Hierbij treden echter problemen op. Het veelvuldig herhalen van basisbewerkingen uit de vaagrekenkunde voegt artifici\"ele onzekerheid aan de oplossing toe. Door het grote aantal basisbewerkingen in de eindige-elementenmethode wordt de onzekerheid van het resultaat groot, waardoor er een overschatting van de eigenlijke onzekerheid aanwezig is. Daarenboven bestaat er geen procedure om een stelsel van lineaire vaagvergelijkingen in een algemeen geval op te lossen. Na twee korte inleidende hoofdstukken over de vaagverzamelingenleer en de ein\-di\-ge-elementenmethode, wordt de vaagrekenkunde van dichterbij bekeken en wordt er geprobeerd het probleem van artifici\"ele onzekerheid bij basisbewerkingen met vaaggetallen aan te pakken. We tonen aan dat de vaagrekenkunde herdefini\"eren om dit probleem op te lossen niet mogelijk is. We bouwen daarom een algoritme op dat steunt op de klassieke vaagrekenkunde maar waarbij afhankelijkheden tussen argumenten in rekening worden gebracht waardoor de artifici\"ele onzekerheid verminderd wordt. In een volgend hoofdstuk stellen we een algemene methode voor het oplossen van stelsels van lineaire vaagvergelijkingen voor. De eerste aanpak is gebaseerd op de algebra\"{\i}sche oplossing. We benaderen de algebra\"{\i}sche oplossingen door middel van een \lq vaaginverse\rq~ matrix. In toepassingen is het daarentegen eerder interessant om alle mogelijke resultaten van stelsels van lineaire vergelijkingen waarbij de vaaggetallen vervangen zijn door re\"ele co\"effici\"enten binnen de extreme waarden van de vaaggetallen, te bundelen in een alternatieve oplossing. Hierbij werpen we een bredere kijk op stelsels van lineaire vaagvergelijkingen waarbij dan de gelijkheid in het systeem van lineaire vaagvergelijkingen niet meer ge\"{\i}nterpreteerd wordt als een strikte gelijkheid. Om dit praktisch te realiseren, bouwen we een methode op die zich baseert op parametrische functies waarbij telkens \'e\'en vaaggetal de variabele in de functie is. In deze basismethode wordt de lidmaatschapsgraad bepaald met behulp van een aggregatieoperator. Wanneer het minimum gebruikt wordt om de lidmaatschapsgraden te aggregeren, dan kan de methode nog geoptimaliseerd worden aan de hand van de monotoniciteit van de parametrische functies. Aangezien in de eindige-elementenmethode de matrix van het stelsel steeds symmetrisch is, ontwikkelen we ook een methode die rekening houdt met die symmetrie. Daarbij worden de co\"effici\"enten van de matrix niet als volledig onafhankelijk beschouwd zodat de artifici\"ele onzekerheid gereduceerd wordt. In het laatste hoofdstuk passen we de voorgestelde methoden toe op realistische voorbeelden. Zo bekijken we eerst een eenvoudige constructie opgebouwd uit drie staven met een externe kracht erop uitgeoefend. Als laatste bekijken we de eindige-elementenmethode voor een eenvoudig vliegtuigmodel.

Downloads

  • thesis.pdf
    • full text
    • |
    • open access
    • |
    • PDF
    • |
    • 3.47 MB

Citation

Please use this url to cite or link to this publication:

MLA
Vroman, Annelies. “Het Oplossen Van Stelsels Lineaire Vaagvergelijkingen.” 2007 : n. pag. Print.
APA
Vroman, A. (2007). Het oplossen van stelsels lineaire vaagvergelijkingen.
Chicago author-date
Vroman, Annelies. 2007. “Het Oplossen Van Stelsels Lineaire Vaagvergelijkingen.”
Chicago author-date (all authors)
Vroman, Annelies. 2007. “Het Oplossen Van Stelsels Lineaire Vaagvergelijkingen.”
Vancouver
1.
Vroman A. Het oplossen van stelsels lineaire vaagvergelijkingen. 2007.
IEEE
[1]
A. Vroman, “Het oplossen van stelsels lineaire vaagvergelijkingen,” 2007.
@phdthesis{469660,
  abstract     = {{De eindige-elementenmethode is een algemeen aanvaarde en vrij breed gebruikte techniek voor numerieke simulatie van verschillende processen en fenomenen in constructies. De methode is oorspronkelijk ontwikkeld voor structuurmechanische analyse in civiele en mechanische constructies. Tegenwoordig is het toepassingsgebied echter zeer sterk uitgebreid, bijvoorbeeld naar problemen in warmtetransport, vloeistoffenstroming, elektromagnetisme, \ldots\ De eindige-elementenmethode is een deterministische methode: de inputparameters dienen dus volledig gekend en gedefinieerd te zijn. Het resultaat is dan ook deterministisch. In de realiteit is het echter moeilijk om al deze inputparameters correct en \'e\'enduidig te defini\"eren. Er kan bijvoorbeeld onzekerheid bestaan over bepaalde materiaalparameters door onzuiverheden aanwezig in de materie of bepaalde aspecten van een constructie kunnen nog niet volledig bepaald zijn in de ontwerpfase. Om deze onzekerheid in de invoergegevens te modelleren, kan men zich op de vaagverzamelingenleer baseren. De onzekere parameter wordt dan beschreven door middel van een lidmaatschapsfunctie die een weergave is van wat de werkelijke waarde van de grootheid mogelijks kan zijn. Een eerste aanpak om de deterministische eindige-elementenmethode uit te breiden voor onzekere invoerparameters is door alle stappen in de methode te vervangen door equivalente bewerkingen in de vaagheid. Hierbij treden echter problemen op. Het veelvuldig herhalen van basisbewerkingen uit de vaagrekenkunde voegt artifici\"ele onzekerheid aan de oplossing toe. Door het grote aantal basisbewerkingen in de eindige-elementenmethode wordt de onzekerheid van het resultaat groot, waardoor er een overschatting van de eigenlijke onzekerheid aanwezig is. Daarenboven bestaat er geen procedure om een stelsel van lineaire vaagvergelijkingen in een algemeen geval op te lossen. Na twee korte inleidende hoofdstukken over de vaagverzamelingenleer en de ein\-di\-ge-elementenmethode, wordt de vaagrekenkunde van dichterbij bekeken en wordt er geprobeerd het probleem van artifici\"ele onzekerheid bij basisbewerkingen met vaaggetallen aan te pakken. We tonen aan dat de vaagrekenkunde herdefini\"eren om dit probleem op te lossen niet mogelijk is. We bouwen daarom een algoritme op dat steunt op de klassieke vaagrekenkunde maar waarbij afhankelijkheden tussen argumenten in rekening worden gebracht waardoor de artifici\"ele onzekerheid verminderd wordt. In een volgend hoofdstuk stellen we een algemene methode voor het oplossen van stelsels van lineaire vaagvergelijkingen voor. De eerste aanpak is gebaseerd op de algebra\"{\i}sche oplossing. We benaderen de algebra\"{\i}sche oplossingen door middel van een \lq vaaginverse\rq~ matrix. In toepassingen is het daarentegen eerder interessant om alle mogelijke resultaten van stelsels van lineaire vergelijkingen waarbij de vaaggetallen vervangen zijn door re\"ele co\"effici\"enten binnen de extreme waarden van de vaaggetallen, te bundelen in een alternatieve oplossing. Hierbij werpen we een bredere kijk op stelsels van lineaire vaagvergelijkingen waarbij dan de gelijkheid in het systeem van lineaire vaagvergelijkingen niet meer ge\"{\i}nterpreteerd wordt als een strikte gelijkheid. Om dit praktisch te realiseren, bouwen we een methode op die zich baseert op parametrische functies waarbij telkens \'e\'en vaaggetal de variabele in de functie is. In deze basismethode wordt de lidmaatschapsgraad bepaald met behulp van een aggregatieoperator. Wanneer het minimum gebruikt wordt om de lidmaatschapsgraden te aggregeren, dan kan de methode nog geoptimaliseerd worden aan de hand van de monotoniciteit van de parametrische functies. Aangezien in de eindige-elementenmethode de matrix van het stelsel steeds symmetrisch is, ontwikkelen we ook een methode die rekening houdt met die symmetrie. Daarbij worden de co\"effici\"enten van de matrix niet als volledig onafhankelijk beschouwd zodat de artifici\"ele onzekerheid gereduceerd wordt. In het laatste hoofdstuk passen we de voorgestelde methoden toe op realistische voorbeelden. Zo bekijken we eerst een eenvoudige constructie opgebouwd uit drie staven met een externe kracht erop uitgeoefend. Als laatste bekijken we de eindige-elementenmethode voor een eenvoudig vliegtuigmodel.}},
  author       = {{Vroman, Annelies}},
  language     = {{und}},
  school       = {{Ghent University}},
  title        = {{Het oplossen van stelsels lineaire vaagvergelijkingen}},
  url          = {{http://dx.doi.org/1854/8523}},
  year         = {{2007}},
}

Altmetric
View in Altmetric